大體積混凝土連續阻尼譜函數研究
1996年以前，工程上對溫度徐變應力的計算一般采用“松弛系數法”[1]，這對于均質結構或滿足比例變形條件的非均質結構是合適的。1996年以后，新頒《水工混凝土結構設計規范》[2]建議考慮大壩結構的非均質性以及材料參數的時間依賴性，按混凝土徐變度方程計算溫度應力，即根據不同的加載過程，以適當的時間步長，利用線性徐變理論的疊加原理，逐步計算壩體溫度應力。這類方法以文獻[3]提出 的“混凝土結構徐變應力分析的隱式解法”最為成熟與實用，它既能有效地節省存儲空間，也能考慮時間步長的變化，為大體積混凝土結構計算、結構的仿真計算奠定了基礎。
混凝土非線性徐變理論的研究在我國六十年代初就開始了[4～6]，但還沒有形成統一的、有影響力的理論。所以本文的研究放在已在國際上產生影響的Bazant Z. P.非線性徐變理論-混凝土固化徐變理論[7]的基礎上。
1、Bazant固化徐變理論
1.1混凝土粘彈性相徐變及其求解 Bazant固化徐變理論是將彈性理論、粘彈性理論與流變理論結合起來，模擬由于水泥不斷水化、固相物不斷增多、混凝土宏觀物理力學性質隨時間不斷變化的新理論。這一理論最大的特點是將混凝土宏觀材料參數對時間的依賴性，歸結為混凝土材料的粘性相與粘彈性相體積不斷增多(粘性相與粘彈性相的物理性質不變)、非承力相體積(如孔隙、膠體、水等)不斷固化的結果(彈性相體積不變)，因此也稱為混凝土固化徐變理論。該理論與用某一類函數模擬宏觀上混凝土徐變度的做法不同，是從微觀物理概念出發，直接推導出宏觀上混凝土徐變度的表達式，導出了徐變應力控制方程。
—在Bazant固化徐變應力控制方程中，在任意時刻，混凝土的總應變ε應滿足：
ε=σ/E0+εc＋ε0，εc＝εv＋εf (1)
公式中，εc為混凝土的徐變應變，εv為混凝土粘彈性相徐變，εf為混凝土粘性相流動徐變。ε0為各種附加應變，包括混凝土的自生體積變形、混凝土的溫度變化、混凝土微裂縫的擴展等引起的應變。σ/E0為混凝土彈性相應變。式(1)中，除了εv比較復雜外，其它應變都比較簡單，不是本文研究的對象。
混凝土粘彈性相徐變εv沒有齡期效應，只與持荷時間有關，可以用一系列串聯的Kelvin固體單元來模擬[8-9]。根據Kelvin固體的串聯模型，第μ個Kelvin單元的平衡條件為：
(2)
式中：Eμ、ημ分別為第μ個Kelvin單元的彈性模量和粘滯系數，rμ為第μ個Kelvin單元的應變，r為粘彈性相的總應變，σ為混凝土宏觀應力。將式(2)分別求解，然后再求和，得到在不變應力作用下，混凝土粘彈性相任意時刻的應變為：
(3)
這時，如果混凝土粘彈性相徐變度函數服從對數冪函數分布［10］，就可以用快速收斂Dirichlet級數來逼近它，即令：
(4)
式(3)與式(4)表達的物理意義相同，形式相當，兩者只在常數項有區別，其轉化關系為Eμ=1/q2Aμ。常數Aμ需要根據試驗資料按最小二乘法確定；阻尼時間常量τμ如果也由試驗資料確定時，將導致一個病態方程組的求解[11]，最好根據計算經驗取值。根據Bazant的計算經驗，第1個Kelvin單元的阻尼時間τ1及Kelvin單元的個數N要根據我們感興趣時間范圍來選擇，尤其是τ1的選擇，要經過試算，第μ個Kelvin單元的阻尼時間τμ則可取為對數時間坐標，即τμ=τ110μ-1(μ=1,2,…，N)。當τμ、Eμ一定，第μ個Kelvin單元的粘滯系數ημ也就完全確定了，即
ημ＝Eμτμ (5)
1.2混凝土粘彈性相徐變度函數服從對數冪函數分布時的有關系數 現在要針對具體材料徐變度函數分布，確定算法中的有關系數。首先給出對數函數logξ及指數函數ξn的Dirichlet級數展開式。
(6)
(7)
式中：bμ(n)為查表算得的常數[8]。
對于對數冪函數ln(1+ξn)，當ξ《1時，ln(1+ξn)≈nlnξ；當ξ1時，ln(1+ξn)≈ξn。為了得到ln(1+ξn)的Dirichlet級數展開式且符合Kelvin固體的一般規律，Bazant教授將式(4)改寫為：
式(8)、(9)、(10)中的有關系數，如c、z、bμ等均按試驗參數，利用LevenbergMarquardt算法[12]優化而得。其中：z、b1與n的關系見表1.當0.05≤n≤0.25時，在我們感興趣的時間范圍內，如0.25τ2≤ξ≤0.5τN，Dirichlet級數逼近原函數的誤差在1%以內[7]。
表1 函數ln(1+ξn)的Dirichlet級數展開式中的兩個系數
2、混凝土徐變度的連續阻尼譜函數
如前所述，在不變的單位應力作用下，混凝土的柔度函數為：
J(t,t′)=q1+C(t,t′) (11)
式中：q1為瞬時彈性應變，C(t,t′)為混凝土的徐變度。對于沒有老化性質的Kelvin固體，徐變度僅為持荷時間的函數，即
（12）
q2＝1，為了避免阻尼時間τμ選擇上的任意性，令[13]：
（13）
其中，L*(τ)=L(τ)/τ，L(τ)為徐變度函數的連續阻尼譜函數。將它代入上式，有：
（14）
再令τ=1/ζ，則d(lnτ)=-d(lnζ)，式(13)即轉換為：
如果記 （16）
則式(15)就變成：
C(ξ)＝-f(ξ)+f(0) (17)
顯然，f(ξ)為核函數ζ-1L(ζ-1)的Laplace變換式，ξ為轉換變量。對式(17)進行Widder[14]變換,即得:
（18）
且
（19）
利用式(17)，f(0)為常數，便有
（20）
L(τ)即為待求的混凝土徐變度的連續阻尼譜函數。C(k)(kτ)為徐變度函數的k階導數。將式(20)代入式(14)就可以用連續阻尼譜表示混凝土的徐變度了。這與式(4)表示徐變度的離散方法是完全不同的，它適合各種徐變度函數，但其基本前提是混凝土徐變度擬合函數的k階導數存在。
3、對數冪函數表達的徐變度函數的連續阻尼譜的離散方法
式(20)對非老化材料是普遍適用的。由于在求解大型結構的徐變應力問題時，常采用有限差分方法，所以，在時間域上還需對式(14)進行離散，方可將式(14)應用于數值分析。下面以對數冪函數表達的徐變度函數為例，說明離散的方法。
如果公式C(ξ)=q2ln[1+(ξ/λ0)n］中的λ0＝1d[7]，那么，徐變度函數變為：
C(ξ)=q2ln(1+ξn) (21)
對于k=3，按式(20)求得的對數冪函數表達的徐變度函數的連續阻尼譜為：
（22）
由于n為很小的正常數，式(22)可以簡化為：
（23）
將式(14)的時間lnτ離散，Δ(lnτμ)=ln10Δ(logτμ)，并將積分以求和近似代替，則
（24）
Aμ=L(τμ)ln10Δ(logτμ) (25)
在式(24)、(25)中，ξ為混凝土的持荷時間，是由數值計算的時間步長確定的。τμ是混凝土的阻尼時間，是反映材料徐變特性的一種參數。數值計算中，可根據公式(24)擬合連續函數的光滑程度取值。經驗表明，當Δ(logτμ)=1時，正好取對數時間坐標，曲線也足夠光滑，見圖1。
圖1 兩種阻尼譜公式對徐變度函數的擬合效果
4、連續阻尼譜函數的合理性檢驗
為了比較Bazant離散阻尼譜函數和本文提出的連續阻尼譜函數對混凝土粘彈性相徐變度的擬合效果，就文[15]求出的沙牌碾壓混凝土的擬合系數q2，在0.1～10000d時間范圍內，計算了公式(8)、(21)、(24)的具體值，見表2.其圖形表示見圖1.總的感覺是由Bazant公式(8)逼近公式(21)(24)擬合公式(21)有稍高的精度。
在利用公式(8)時，取τ2=1，N=7，τ1=0.1τ2；b1、z按n=0.1在表1中線性插值，在利用公式(24)時，只涉及到n和q2，與τμ的取值無關。但為了和式(21)、式(8)比較，在圖1中，取對數阻尼時間步長Δ(logτμ)=log10=1。
從表2和圖1均可看出，在1≤ξ≤10000(d)范圍內，將連續函數展開成Dirichlet級數的誤差在4%以內；在1≤ξ≤1000(d)范圍內，誤差小于1%，這與Bazant的研究結果吻合；當ζ<1d或ξ>10000d時，連續阻尼譜函數公式的誤差較大，這一問題有待進一步研究。
同時，為了說明離散阻尼譜函數的非唯一性，我們就τ2＝1和τ2＝0.1這兩種情況，在τ1≈(10-5～10-1)τ2范圍內討論了τμ的取值對Dirichlet級數精度的影響，見圖2和圖3。
觀察圖2和圖3就可發現，如果要用離散的阻尼譜函數擬合混凝土粘彈性相的徐變規律，需要采用“試算法”，當τ1取值合適，效果將很好，否則達不到1%的精度。從這一意義上講，連續阻尼譜合適的優越性是非常明顯的。
說明1：式(8),τ1=0.1τ2；2:式(8)，τ1=0.01τ2；3:式(21)；4:式(8)τ1=0.001τ2；5:式(8):τ1＝0.0001τ2
圖2 τ2=0.1時公式(8)對公式(21)的擬合效果比較
說明:1：式(18),τ1=0.1τ2；2：式(8)τ1＝0.01τ2；3式(21)；4:式(8),τ1=0.001τ2；5：式(8),τ1=0.0001τ2
圖3 τ2=1時公式(8)對公式(21)的擬合效果比較
5、小結
為了避免Bazant算法中根據經驗選擇Kalvin固體的阻尼時間的做法，通過對粘彈性相的任意徐變度函數C(t-t′)進行Laplace變換，導出了混凝土材料的連續阻尼譜函數，并根據沙牌碾壓混凝土徐變度函數的擬合資料，檢驗了這種方法的合理性。這樣，就可以使Bazant,Z.P.固化徐變模型適合于具有任意徐變規律的混凝土材料。
混凝土非線性徐變理論的研究在我國六十年代初就開始了[4～6]，但還沒有形成統一的、有影響力的理論。所以本文的研究放在已在國際上產生影響的Bazant Z. P.非線性徐變理論-混凝土固化徐變理論[7]的基礎上。
1、Bazant固化徐變理論
1.1混凝土粘彈性相徐變及其求解 Bazant固化徐變理論是將彈性理論、粘彈性理論與流變理論結合起來，模擬由于水泥不斷水化、固相物不斷增多、混凝土宏觀物理力學性質隨時間不斷變化的新理論。這一理論最大的特點是將混凝土宏觀材料參數對時間的依賴性，歸結為混凝土材料的粘性相與粘彈性相體積不斷增多(粘性相與粘彈性相的物理性質不變)、非承力相體積(如孔隙、膠體、水等)不斷固化的結果(彈性相體積不變)，因此也稱為混凝土固化徐變理論。該理論與用某一類函數模擬宏觀上混凝土徐變度的做法不同，是從微觀物理概念出發，直接推導出宏觀上混凝土徐變度的表達式，導出了徐變應力控制方程。
—在Bazant固化徐變應力控制方程中，在任意時刻，混凝土的總應變ε應滿足：
ε=σ/E0+εc＋ε0，εc＝εv＋εf (1)
公式中，εc為混凝土的徐變應變，εv為混凝土粘彈性相徐變，εf為混凝土粘性相流動徐變。ε0為各種附加應變，包括混凝土的自生體積變形、混凝土的溫度變化、混凝土微裂縫的擴展等引起的應變。σ/E0為混凝土彈性相應變。式(1)中，除了εv比較復雜外，其它應變都比較簡單，不是本文研究的對象。
混凝土粘彈性相徐變εv沒有齡期效應，只與持荷時間有關，可以用一系列串聯的Kelvin固體單元來模擬[8-9]。根據Kelvin固體的串聯模型，第μ個Kelvin單元的平衡條件為：
(2)
式中：Eμ、ημ分別為第μ個Kelvin單元的彈性模量和粘滯系數，rμ為第μ個Kelvin單元的應變，r為粘彈性相的總應變，σ為混凝土宏觀應力。將式(2)分別求解，然后再求和，得到在不變應力作用下，混凝土粘彈性相任意時刻的應變為：
(3)
這時，如果混凝土粘彈性相徐變度函數服從對數冪函數分布［10］，就可以用快速收斂Dirichlet級數來逼近它，即令：
(4)
式(3)與式(4)表達的物理意義相同，形式相當，兩者只在常數項有區別，其轉化關系為Eμ=1/q2Aμ。常數Aμ需要根據試驗資料按最小二乘法確定；阻尼時間常量τμ如果也由試驗資料確定時，將導致一個病態方程組的求解[11]，最好根據計算經驗取值。根據Bazant的計算經驗，第1個Kelvin單元的阻尼時間τ1及Kelvin單元的個數N要根據我們感興趣時間范圍來選擇，尤其是τ1的選擇，要經過試算，第μ個Kelvin單元的阻尼時間τμ則可取為對數時間坐標，即τμ=τ110μ-1(μ=1,2,…，N)。當τμ、Eμ一定，第μ個Kelvin單元的粘滯系數ημ也就完全確定了，即
ημ＝Eμτμ (5)
1.2混凝土粘彈性相徐變度函數服從對數冪函數分布時的有關系數 現在要針對具體材料徐變度函數分布，確定算法中的有關系數。首先給出對數函數logξ及指數函數ξn的Dirichlet級數展開式。
(6)
(7)
式中：bμ(n)為查表算得的常數[8]。
對于對數冪函數ln(1+ξn)，當ξ《1時，ln(1+ξn)≈nlnξ；當ξ1時，ln(1+ξn)≈ξn。為了得到ln(1+ξn)的Dirichlet級數展開式且符合Kelvin固體的一般規律，Bazant教授將式(4)改寫為：
式(8)、(9)、(10)中的有關系數，如c、z、bμ等均按試驗參數，利用LevenbergMarquardt算法[12]優化而得。其中：z、b1與n的關系見表1.當0.05≤n≤0.25時，在我們感興趣的時間范圍內，如0.25τ2≤ξ≤0.5τN，Dirichlet級數逼近原函數的誤差在1%以內[7]。
表1 函數ln(1+ξn)的Dirichlet級數展開式中的兩個系數
2、混凝土徐變度的連續阻尼譜函數
如前所述，在不變的單位應力作用下，混凝土的柔度函數為：
J(t,t′)=q1+C(t,t′) (11)
式中：q1為瞬時彈性應變，C(t,t′)為混凝土的徐變度。對于沒有老化性質的Kelvin固體，徐變度僅為持荷時間的函數，即
（12）
q2＝1，為了避免阻尼時間τμ選擇上的任意性，令[13]：
（13）
其中，L*(τ)=L(τ)/τ，L(τ)為徐變度函數的連續阻尼譜函數。將它代入上式，有：
（14）
再令τ=1/ζ，則d(lnτ)=-d(lnζ)，式(13)即轉換為：
如果記 （16）
則式(15)就變成：
C(ξ)＝-f(ξ)+f(0) (17)
顯然，f(ξ)為核函數ζ-1L(ζ-1)的Laplace變換式，ξ為轉換變量。對式(17)進行Widder[14]變換,即得:
（18）
且
（19）
利用式(17)，f(0)為常數，便有
（20）
L(τ)即為待求的混凝土徐變度的連續阻尼譜函數。C(k)(kτ)為徐變度函數的k階導數。將式(20)代入式(14)就可以用連續阻尼譜表示混凝土的徐變度了。這與式(4)表示徐變度的離散方法是完全不同的，它適合各種徐變度函數，但其基本前提是混凝土徐變度擬合函數的k階導數存在。
3、對數冪函數表達的徐變度函數的連續阻尼譜的離散方法
式(20)對非老化材料是普遍適用的。由于在求解大型結構的徐變應力問題時，常采用有限差分方法，所以，在時間域上還需對式(14)進行離散，方可將式(14)應用于數值分析。下面以對數冪函數表達的徐變度函數為例，說明離散的方法。
如果公式C(ξ)=q2ln[1+(ξ/λ0)n］中的λ0＝1d[7]，那么，徐變度函數變為：
C(ξ)=q2ln(1+ξn) (21)
對于k=3，按式(20)求得的對數冪函數表達的徐變度函數的連續阻尼譜為：
（22）
由于n為很小的正常數，式(22)可以簡化為：
（23）
將式(14)的時間lnτ離散，Δ(lnτμ)=ln10Δ(logτμ)，并將積分以求和近似代替，則
（24）
Aμ=L(τμ)ln10Δ(logτμ) (25)
在式(24)、(25)中，ξ為混凝土的持荷時間，是由數值計算的時間步長確定的。τμ是混凝土的阻尼時間，是反映材料徐變特性的一種參數。數值計算中，可根據公式(24)擬合連續函數的光滑程度取值。經驗表明，當Δ(logτμ)=1時，正好取對數時間坐標，曲線也足夠光滑，見圖1。
圖1 兩種阻尼譜公式對徐變度函數的擬合效果
4、連續阻尼譜函數的合理性檢驗
為了比較Bazant離散阻尼譜函數和本文提出的連續阻尼譜函數對混凝土粘彈性相徐變度的擬合效果，就文[15]求出的沙牌碾壓混凝土的擬合系數q2，在0.1～10000d時間范圍內，計算了公式(8)、(21)、(24)的具體值，見表2.其圖形表示見圖1.總的感覺是由Bazant公式(8)逼近公式(21)(24)擬合公式(21)有稍高的精度。
在利用公式(8)時，取τ2=1，N=7，τ1=0.1τ2；b1、z按n=0.1在表1中線性插值，在利用公式(24)時，只涉及到n和q2，與τμ的取值無關。但為了和式(21)、式(8)比較，在圖1中，取對數阻尼時間步長Δ(logτμ)=log10=1。
從表2和圖1均可看出，在1≤ξ≤10000(d)范圍內，將連續函數展開成Dirichlet級數的誤差在4%以內；在1≤ξ≤1000(d)范圍內，誤差小于1%，這與Bazant的研究結果吻合；當ζ<1d或ξ>10000d時，連續阻尼譜函數公式的誤差較大，這一問題有待進一步研究。
同時，為了說明離散阻尼譜函數的非唯一性，我們就τ2＝1和τ2＝0.1這兩種情況，在τ1≈(10-5～10-1)τ2范圍內討論了τμ的取值對Dirichlet級數精度的影響，見圖2和圖3。
觀察圖2和圖3就可發現，如果要用離散的阻尼譜函數擬合混凝土粘彈性相的徐變規律，需要采用“試算法”，當τ1取值合適，效果將很好，否則達不到1%的精度。從這一意義上講，連續阻尼譜合適的優越性是非常明顯的。
說明1：式(8),τ1=0.1τ2；2:式(8)，τ1=0.01τ2；3:式(21)；4:式(8)τ1=0.001τ2；5:式(8):τ1＝0.0001τ2
圖2 τ2=0.1時公式(8)對公式(21)的擬合效果比較
說明:1：式(18),τ1=0.1τ2；2：式(8)τ1＝0.01τ2；3式(21)；4:式(8),τ1=0.001τ2；5：式(8),τ1=0.0001τ2
圖3 τ2=1時公式(8)對公式(21)的擬合效果比較
5、小結
為了避免Bazant算法中根據經驗選擇Kalvin固體的阻尼時間的做法，通過對粘彈性相的任意徐變度函數C(t-t′)進行Laplace變換，導出了混凝土材料的連續阻尼譜函數，并根據沙牌碾壓混凝土徐變度函數的擬合資料，檢驗了這種方法的合理性。這樣，就可以使Bazant,Z.P.固化徐變模型適合于具有任意徐變規律的混凝土材料。
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